有効数字

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有効数字とは

測定によって得られた値と真の値との差は誤差といい、測定によって得られた値のうち、誤差の影響を受けないか、あるいは多少の誤差を含んでいても意味のある桁の数字が有効数字である。

① 測定値と誤差

長さ、質量、体積、温度といった様々な量を測定する際に、測定器具を用いて得られた値が測定値である。

一般的に、測定を行う際には、測定器具の最小目盛りの\(\displaystyle\frac{1}{10}\)程度まで目分量で読み取り、測定値とする。このとき、測定値の最も右側の数字は、目分量で判断した値であるため、真の値とはわずかに異なっている可能性、つまり誤差を含んでいると考えられる。

上の図のようにある物体の長さの値を読み取ったとき、測定値の\(1.85\,\text{mL}\)の\(5\)には目分量で読み取ったことによる誤差が含まれている。この誤差の範囲が\(\pm0.005\,\text{mL}\)以内とすると、真の値 \(V\,\text{mL}\)は、次のように表すことができる。
$$1.845 \leqq V \leqq 1.855$$

② 有効数字

①のビュレットの値を読み取ったときの\(1.85\,\text{mL}\)という測定値は、最後の位に誤差を含んでいるものの、測定値としては意味のある数値である。そのため、有効数字は3桁となる。

有効数字の桁数を考えるときは、0の扱いに注意が必要である。「\(4.00\,\text{mL}\)」のように測定値の小数点以下の最後の位にある0は有効数字であるが、「\(0.015 \,\text{L}\)」のように位取りを示すための0は有効数字には含めない。

大きな数や小さな数では、有効数字をはっきり示すため、指数を用いて\(A\times10^{n}\)の形で表すのが一般的である。

例えば、1の位まで測定した有効数字4桁の\(1200\,\text{g}\)の場合、次のように表す。

$$1200\,g=1.200\times10^3\,g$$

しかし、\(1200\,\text{g}\)は

$$1200\,g=1.20\times10^3\,g$$

$$1200\,g=1.2\times10^3\,g$$

といった可能性もあり、注意が必要である。

③ 有効数字の計算-かけ算・わり算-

通常、測定値のかけ算やわり算では、計算結果の桁数が、有効数字の桁数が最も少ない測定値の桁数に合うよう、四捨五入する。

例えば、有効数字3桁と2桁のかけ算\(11.2\,\text{L/mol}\times4.2\,\text{mol}\)では、そのまま計算すると、次のようになる。$$11.2\,\text{L/mol}\times4.2\,\text{mol}=47.04\,\text{L}$$

測定値の最後の位の数値には誤差が含まれており、その数値をかけた値のすべてに誤差が含まれることになる。

図のように計算結果の2桁目以降には誤差が含まれることがわかる。2桁目の数値は誤差を含むものの、意味のある値であるため、3桁目を四捨五入して\(47\,\text{L}\)とするが適切である。

④ 有効数字の計算-足し算・引き算-

通常、測定値の足し算や引き算では、計算結果の末位が、有効数字の末位が最も高い測定値の末位に合うよう、四捨五入する。

$$28.37\,\text{g}+15.4\,\text{g}=43.77 \,\textbf{g}$$

図のように計算結果の3桁目以降には誤差が含まれることがわかる。この場合、4桁目を四捨五入して\(43.8\,\text{g}\)とするが適切である。

【補足】測定誤差

測定をする際に生じる誤差を測定誤差という。測定誤差には、以下の2つがある。

(ⅰ)　系統誤差：温度や測定機器、測定者のくせなどによって生じる誤差。原因を調べて誤差を減らすことが可能。

(ⅱ)　偶然誤差：測定ごとにばらつく誤差のこと。誤差はばらつくため、測定回数を増やすことで誤差を減らすことが可能。